2.10. Эллиптическое движение


Вычислив интеграл (2.47), мы можем получить (t - т) как функцию u (и наоборот). Но этот прямой путь оказывается чрезвычайно сложным, так как требует решения трансцендентного уравнения, которое в конечном виде не решается. К некоторому упрощению ведет использование другой вспомогательной переменной, через которую u выражается достаточно просто, а связь со временем определяют более простым трансцендентным уравнением.
В эллиптическом движении вводят понятие эксцентрической аномалии E:

После интегрирования имеем

2.8. Кеплеровы элементы невозмущенного движения

Вместо направляющих косинусов осей системы  Вместо направляющих косинусов осей системы целесообразно ввести некоторые постоянные, более удобные и используемые в астрономии и космической баллистике. Как известно, направляющие косинусы определяют ориентацию одной системы координат относительно другой. Но та же цель достигается и введением трех эйлеровых углов, которые независимы между собой. В астрономии и космической баллистике они получили специальные названия. Рассмотрим рис. 2.2 где показаны используемые системы координат и соответственно связывающие их углы. Пересечение плоскости орбиты с плоскостью экватора (OXY) называют линией узлов. Узлы орбиты — точки пересечения линии узлов с орбитой. Восходящий узел  ... Читать дальше »

2.7. Переход к орбитальным координатам

Приведенные соотношения свидетельствуют о том, что общее решение дифференциальных уравнений невозмущенного движения существует. А как их решить практически?

Действительно, чтобы получить формулы (2.21), нужно разрешить уравнения (2.7)...(2.9), (2.13) и (2.17) относительно пяти из шести неизвестных функций. Но эти уравнения являются уравнениями 2-й степени относительно всех шести неизвестных и содержат иррациональность, представляемую радиусом-вектором. Поэтому непосредственное использование найденных соотношений затруднительно. К некоторому упрощению приводит использование выявленных ранее некоторых свойств. Как было показано при анализе соотношения (2.12), траектория КА является плоской кривой. Чтобы определить вид и расположение этой кривой, надо иметь второе уравнение, содержащее координаты КА; его находят из интегралов Лапласа. Оно имеет вид

2.6. Определение произвольных постоянных

Пусть в некоторый начальный момент времени который в астрономии называют начальной эпохой, известны координаты и составляющие скорости КА:

В этом случае можно определить все произвольные постоянные невозмущенного движения КА.
постоянные площадей найдем, подставив соответствующие начальные значения в (2.7)...(2.9):

2.5. Шестой интеграл уравнений невозмущенного движения

Если провести формальный подсчет полученных интегралов, то насчитаем их семь и, соответственно, семь постоянных: C₁ C₂ C₃ H f₁ f₂ f₃.Однако они не могут составить решения системы уравнений (2.4), так как: а) ни один из них не содержит явно времени; б) имеют место два тождественных соотношения

Соотношение (2.19) может быть легко получено, если левые части интегралов площадей (2.7), (2.8) и (2.9) умножить на левые части интегралов Лапласа (2.17) и полученные результаты сложить. Соотношение (2.19) определяет условие перпендикулярности вектора площадей и вектора Лапласа.

Соотношение (2.20) получают более сложным путем, оно не имеет такой четкой физичес ... Читать дальше »

2.4. Интегралы Лапласа


Уравнение (2.16) структурно похоже на уравнение (2,4). Умножим первое иг уравнений (2.4) на (-г), соотношение (2.16) на х и сложим результаты:

Аналогично получим два других уравнения:

Интегрирование этих уравнений дает так называемые интегралы лапласа, по внешнему виду напоминающие интегралы площадей:
... Читать дальше »

2.3. Интеграл «живых сил» (энергии)


Здесь П — некоторая постоянная; выражение в скобках — квадрат скорости

2.2. Интеграл площадей


Нетрудно видеть, что

Здесь dA/dt — секториальная скорость, т. е. приращение площади, описываемой радиусом-вектором движущегося тела за единицу времени. После интегрирования имеем:

Прежде чем сделать некоторые ... Читать дальше »