3.6. Система дифференциальных уравнений движения в оскулирующих элементах

Считаем, что на тело Р (космический аппарат) действует возмущающее ускорение, компонентами которого являются S, Т, W.

Вводим понятие оскулирующей плоскости, под которой понимаем плоскость, проходящую через текущий радиус-вектор r тела Р и текущий вектор скорости V. Рассматриваем подвижную прямоугольную систему координат PSTW, оси которой ориентируются следующим образом: ось PS направлена по радиусу-вектору r; ось РТ лежит в оскулирующей плоскости перпендикулярно к PS и направлена так, чтобы угол с направлением движения не превышал 90°; ось PW направлена перпендикулярно к оскулирующей плоскости так, чтобы выбранные оси составляли правую систему координат.

Задача нахождения оскулирующих элементов заключается в решении следующей системы дифференциальных уравнений:

3.5. Метод оскулирующих элементов

Этот метод широко применяют в космической баллистике для исследования возмущенного движения. Сущность метода заключается в том, что возмущенную — истинную — траекторию движения КА рассматривают как состоящую из последовательности невозмущенных траекторий для каждого текущего момента времени. В итоге траектория возмущенного движения в каждый момент времени соприкасается с траекторией невозмущенного движения для этого же момента и представляет собой огибающую семейства невозмущенных траекторий движения. Максимальная эффективность применения этого метода достигается в тех случаях, когда возмущающие силы существенно меньше силы тяготения основного притягивающего центра.

Запишем систему уравнений возмущенного движения

ВЫВОД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ. Итак ... Читать дальше »

3.4. Гравитационные сферы

Использование гравитационной сферы, в которой влияние одного из притягивающих тел становится основным, весьма удобно как при качественных исследованиях, так и при расчетах траекторий движения КА.

Рассмотрение различных видов гравитационных сфер целесообразно осуществить в рамках ограниченной задачи трех тел, причем одним притягивающим телом Р₀ является Солнце, другим P₁ — большая планета или Луна, третьим телом Р с бесконечно малой массой является космический аппарат или спутник.

Обозначим через j₀ ускорение, сообщаемое телу Р Солнцем, когда последнее является основным притягивающим телом; через a₁ — возмущающее ускорение, вызываемое притяжением тела Р₁ через j₁ — ускорение, сообщаемое телу Р планетой P₁ когда планета является основным притягивающим телом; через а₀ — возмущающее ускорение, вызываемое притяжением Солнца (тела Р₀).
... Читать дальше »

3.3. Ограниченная задача трех тел и ее прикладные аспекты

Анализ общей постановки задачи п тел показывает, что учет влияния сил притяжения нескольких планет на движение КА приводит к сложным и громоздким математическим моделям, исследование которых сопряжено со значительными трудностями.

При решении многих задач космической баллистики целесообразно упростить исследование за счет принятия дополнительных допущений. Во-первых, применительно к конкретным задачам межпланетного полета можно выделить небесные тела, оказывающие наибольшее влияние на движение КА, и тем самым ограничить число гравитнрующих тел в общей задаче. В частности, практический интерес представляет случай трех тел (п = 3), получивший название задачи трех тел. Необходимость решения этой задачи была вызвана реализацией в 60-е гг. XX в. лунной программы и полетов Земля—Луна—Земля. В качестве рассматриваемых трех тел принимаются КА, Луна и Земля. Поскольку масса КА намного меньше масс двух других тел, дел ... Читать дальше »

3.2. Задача n тел и методы ее решения

В общей постановке определение траектории движения КА с учетом действия сил тяготения Солнца, Земли, планеты-цели (в случае пертурбационного маневра — также и промежуточной планеты) является результатом решения так называемой задачи нескольких тел или задачи n тел, где n — количество взаимо-притягивающих гравитирующих тел. Эта задача не имеет точного математического решения. Небесная механика позволяет решать эту общую задачу различными методами, в том числе и методом решения задачи в упрощенной постановке. Такой задачей, в частности, является задача трех тел, используемая для расчета межпланетных траекторий КА и имеющая в некоторых случаях точное аналитическое решение.

Рассмотрим задачу n тел. Пусть в пространстве выбрана некоторая инерциальная система отсчета, относительно которой в начальный момент времени известны координаты и составляющие скорости п гравитирующих тел. В силу большого расстояния между гравитирующими телами, ... Читать дальше »

3.1. Общая характеристика возмущений и возмущенного движения

Возмущенное движение — фактическое (истинное) движение КА под действием различных сил известной и неизвестной природы. Изучение возмущенного движения позволяет определить фактическое движение КА и небесных тел с учетом воздействия многих гравитирующих тел (Солнца, планет, Луны). Для этого необходимо как изучение и математическое описание различных возмущающих факторов, так и решение сложных теоретических задач астрономии.

Одной из основных задач небесной механики (начиная с XYII в.) является выявление и формализованное представление возмущений, а также разработка методов определения фактического движения небесных тел. Эти вопросы составляют предмет ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ, результаты которой широко используются при баллистико-навигационном обеспечении полетов КА.

Можно выделить три основные группы возмущающих факторов:

► влияние нецентральности поля сил тяготения основного притягивающег ... Читать дальше »

Глава 3. Возмущенное движение

Описание и изучение орбит КА и небесных тел Солнечной системы на основе решения задачи двух тел является первым этапом при определении реальных движений тел любой природы. Это самое простое представление реальной картины движения, поэтому соответствующая данной задаче математическая модель движения КА является также наиболее простой.

В реальных условиях практически не существует невозмущенных орбит. Земля притягивается не только Солнцем, но и другими планетами. В свою очередь Земля притягивает другие планеты. Движение КА и спутников происходит под действием притяжения Солнца и других планет. Траектория КА вблизи Луны существенно отличается от расчетной кеплеровой из-за воздействия на аппарат сил тяготения Земли и Солнца. Изменение (деформация) невозмущенной кеплеровой траектории ИСЗ происходит из-за таких факторов, как несферичность Земли, гравитационные аномалии, воздействие верхней атмосферы и др.

Отклонения от теоретически вы ... Читать дальше »

2.14. Гиперболические орбиты

Гиперболические орбиты являются орбитами движения небесных тел, способных преодолевать поле тяготения основного притягивающего центра. Таковы кометы, навсегда покидающие Солнечную систему, а также космические аппараты, стартующие с орбиты ИСЗ при осуществлении межпланетных перелетов к Венере, Марсу, Юпитеру и др. Следует указать, что траектории возвращения КА после полета к планетам также являются гиперболическими, величина скорости которых превышает вторую космическую (параболическую) скорость.

Траектория межпланетного перелета КА от Земли к планете назначения может быть наглядно представлена в виде трех последовательных траекторий: на этапе отлета от Земли траектория является гиперболической (относительно притягивающего тела — Земли); после выхода из поля тяготения Земли траектория полета КА является эллиптической (относительно притягивающего тела — Солнца); при входе в поле тяготения планеты КА снова будет двигаться по гиперболическо ... Читать дальше »

2.13. Параболические орбиты

Параболические орбиты и движение по ним небесных тел широко изучаются в небесной механике, так как многие кометы движутся по орбитам, близким к параболическим. При космических полетах параболические орбиты практически не встречаются, а движение КА происходит либо по эллиптическим орбитам (когда аппарат находится в поле тяготения центрального тела — Солнца, Земли, планеты), либо по гиперболическим орбитам (по отношению к основному притягивающему телу) — при межпланетных перелетах. Тем не менее изучение параболического движения имеет важное значение, поскольку оно является предельным случаем невозмущенного движения КА. Кроме того, интерес к данному типу орбит связан с исследованием и реализацией траекторий полетов КА к Луне, а также с обеспечением безопасной посадки возвращаемых на Землю аппаратов, обладающих при входе в атмосферу Земли околопараболическими скоростями.

2.12. Некоторые практические задачи

Наиболее очевидными являются две практические задачи.