Классический пример теории возмущений
Классический пример использования теории возмущений дает
изучение движения Земли в Солнечной системе. На таких больших пространственных
масштабах можно учитывать только гравитационное взаимодействие, однако, если не
делать дополнительных приближений, возникающие уравнения будут крайне сложны.
Вспомним, что и по Ньютону, и по Эйнштейну все тела оказывают гравитационное
воздействие на все другие тела, так что попытка точной формулировки сразу
приводит к математически неразрешимой задаче о «гравитационном перетягивании
каната» Землей, Солнцем, другими планетами и, если по‑честному, всеми другими
небесными телами. Как нетрудно сообразить, определить точное движение Земли с
учетом всех влияний невозможно. На самом деле, уже в случае трех небесных тел
уравнения становятся настолько сложными, что никто не сумел полностью решить
их.
Тем не менее в рамках теории возмущений можно предсказать
движение Земли в Солнечной системе с высочайшей точностью. Огромная масса
Солнца по сравнению с массами всех других тел Солнечной системы, как и близость
Солнца к Земле по сравнению с расстояниями от Земли до других звезд,
свидетельствуют о том, что Солнце оказывает доминирующее воздействие на
движение Земли. Таким образом, в первом приближении можно учитывать только
гравитационное воздействие Солнца. Для многих приложений этого вполне
достаточно. Если окажется необходимым, можно уточнить это приближение,
последовательно учитывая гравитационное воздействие следующих по степени
влияния тел, например, Луны или тех планет, которые в данный момент проходят
ближе всего к Земле. По мере того как паутина гравитационных взаимодействий
будет становиться более запутанной, вычисления могут стать сложными, но это не
должно затемнять смысл философии теории возмущений: гравитационное взаимодействие
между Землей и Солнцем дает нам приближенное понимание движения Земли, а
совокупность остальных гравитационных взаимодействий последовательно
учитывается все уменьшающимися поправками. В этом примере подход в рамках
теории возмущений применим, так как существует доминирующее физическое
воздействие, допускающее сравнительно простое теоретическое описание. Это не
всегда так. Например, если нужно рассчитать движение трех сравнимых по массе
звезд, вращающихся в тройной системе одна вокруг другой, нельзя указать,
взаимодействие каких звезд будет доминирующим. Поэтому нельзя дать грубую
оценку, к которой затем можно было бы делать малые поправки, обусловленные
другими эффектами. Если попытаться использовать теорию возмущений и выбрать для
грубой оценки, например, взаимодействие между двумя звездами, быстро выяснится,
что подход неприменим. Вычисленные «поправки» за счет влияния третьей звезды
будут не малыми, а столь же существенными, что и первое грубое приближение.
Ситуация знакомая: движения трех человек, танцующих танец «хора» мало
напоминают движения пары, танцующей танго. Большие поправки означают, что
исходное приближение было выстрелом мимо цели, а вся схема была карточным
домиком. Важно понимать, что дело не просто в учете большой поправки третьей
звезды. Здесь действует эффект домино: большая поправка сильно влияет на
движение двух звезд, что, в свою очередь, сильно влияет на движение третьей
звезды, которое опять‑таки влияет на движение двух звезд, и т. д. Все нити
гравитационной паутины одинаково важны, и должны рассматриваться одновременно.
Единственным спасением в таких случаях часто бывает метод грубой силы —
компьютерное моделирование совместного движения.
Этот пример демонстрирует, насколько при использовании
теории возмущений важно определить, является ли предполагаемое первое
приближение действительно приближением, и, если оно им является, сколько и
каких более точных деталей следует учитывать, для достижения требуемой
точности. Как мы сейчас обсудим, эти вопросы особенно важны при применении теории
возмущений к изучению физических процессов в микромире.
|
