6.6. Метод наименьших квадратов и его использование при обработке результатов измерений
При математической обработке результатов измерений большое распространение получил метод наименьших квадратов. Кратко изложим существо метода. Пусть у и дг связаны функциональной зависимостью и произведено N измерений y1, у2,..., yN функции у при соответствующих значениях х1, х2, ..., xN аргумента х. Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, т. е. в отыскании такого соотношения, которое бы наилучшим образом описывало полученные результаты измерений. Особенностью задачи является то, что наличие случайных ошибок измерений делает нецелесообразным нахождение «строгой» зависимости, которая включала бы все опытные значения. Другими словами, график искомой функции не должен обязательно проходить через все имеющиеся точки (х1, y1), {хг, i/2), .... (xN. yN).
В основе метода лежит принцип наименьших квадратов: «наивероятнейшим» значением, которое можно получить из ряда измерений одинаковой точности, является такое значение, для которого сумма квадратов разностей этого значения и результатов измерений является наименьшей.
Для целей практического использования данного метода необходимо заранее выбрать некоторый тип функциональной зависимости у = fix), например, у = ах + Ь, у = аebx + с и т. д., но таким образом, чтобы в выбранной зависимости в явном виде присутствовали некоторые параметры о, Ь, с, ..., которые и должны быть найдены.
Обозначим выбранную функциональную зависимость через
y = f(x,a1 ..., аn), (6.9)
где в явном виде указаны подлежащие нахождению параметры a1, а2, ..., аг. Эти параметры нельзя определить точно по эмпирическим значениям у1, у2, ..., yN, так как последние содержат случайные ошибки. Поэтому говорят только о получении «достаточно хороших» оценок искомых параметров. Метод наименьших квадратов позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки всех искомых параметров а,, аг.....аг, причем
для линейного случая (когда a1, a2, аг входят в (6.9) линейно) оценки являются также и эффективными. Эти результаты справедливы, когда измерения у1, у2, ..., yN проведены независимо друг от друга и когда ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения вероятностей.
Если все измерения у, у2, .... yN проведены с одинаковой точностью, то в соответствии с принципом наименьших квадратов оценки параметров а1,а2, ..., аr определим из условия
|
