Бросая мяч (Часть 6)
Земля настолько массивней падающих тел, которые мы обычно используем, что ускорение Земли по отношению к ним заметить совершенно невозможно. Это несколько запутывает дело, и хорошо, что Ньютон просто отбросил это усложнение: это позволило ему понять, что притяжение — не только свойство Земли, но и свойство всех объектов во Вселенной.
По третьему закону, если Земля притягивает к себе падающие тела, падающие тела должны совершенно так же притягивать Землю. Если сила притяжения зависит от массы падающего тела, это должно также зависеть от массы Земли, поскольку мы не можем дать одной стороне преимущественного положения перед другой. Если мы обозначим массу Земли буквой М, то получается следующее:
F ~ mМ (уравнение 9).
Гравитационная сила также зависит от расстояния между телами. Разумно предположить, что чем дальше два тела друг от друга, тем слабее их притяжение друг к другу. Можно доказать, что гравитационная сила пропорциональна расстоянию между падающим телом и Землей. Из принципа симметрии, однако, должно следовать, что гравитационная сила точно так же должна быть пропорциональна между Землей и падающим телом. Ясно, что оба эти расстояния совершенно равны, и если одно из них обозначить через d, то гак же можно обозначить и второе расстояние. В этом случае гравитационная сила везде пропорциональна d х d, или d2, и обратно пропорциональна Таким образом:
F ~ 1/d2 (уравнение 10).
И если мы объединим уравнения 9 и 10, то получим:
F ~ mM/d2 (уравнение 11).
Чтобы превратить эту формулу в равенство, мы должны умножить правую сторону уравнения на коэффициент пропорциональности. В этом случае давайте назовем его гравитационной постоянной и обозначим буквой G. Уравнение И тогда приобретет следующий вид:
F = GmM/d2 (уравнение 12).
Это уравнение представляет собой ньютоновский закон гравитации в самом простом виде.
Теперь давайте посмотрим, сможем ли мы упростить это равенство. Рассмотрим гравитационную силу в терминах ускорения. Ускорение Земли столь мало, что мы можем не принимать его во внимание, а иметь дело лишь с ускорением падающего тела. В уравнении 6 мы можем заменить F выражением та и затем сократить т с обеих сторон уравнения. Это даст нам следующее:
а - GM/d2 (уравнение 13).
Можем мы также избавиться и от G?
G ~ ad2/M (уравнение 14).
К сожалению, это тоже нам никак не помогает. Мы можем измерить ускорение падающего тела (а) и расстояние между падающим телом и центром Земли (d), но у нас нет совершенно никакой информации о массе Земли (М). Или, по крайней мере, ее не было у Ньютона.
Однако, чему бы G ни равнялось, его значение остается тем же для всех возможных значений a, d и М при условии, что вы выражаете а, d и М при помощи одного и того же набора единиц. В этом случае давайте очень тщательно выберем набор единиц, который бы позволил нам избавиться от G.
|
