§ 51. Третий (уточненный) закон Кеплера
При круговом движении ускорение w = w2r, где угловая скорость  , а Т — период обращения по окружности. Следовательно, ускорение
Если рассматривать относительное движение по кругу небесного тела с массой т вокруг центрального тела с массой M, то согласно уравнению (2.17) относительное ускорение
Так как w и wот — одно и то же ускорение, то, приравняв их правые части, получим
 (2.23)
Если рассматривать движение небесного тела по эллипсу, то получится соотношение, аналогичное (2.23), только в нем радиус круга r заменится на большую полуось а, а T будет означать период обращения тела по эллипсу. Напишем это соотношение для двух тел, массы которых т1 и т2 , большие полуоси их эллиптических орбит а1 и a2 , а периоды их обращений вокруг их центральных тел с массами М1 и М2 обозначим через T1 и T2 . Тогда
откуда
 (2.24)
Это точное выражение третьего закона Кеплера. Если рассматривать движение двух планет вокруг Солнца, т.e. вокруг одного и того же тела (М1 = М2 ), и пренебречь массами планет (т1 » m2 = 0) в сравнении с массой Солнца, то получим формулу (2.7), выведенную Кеплером из наблюдений:
Так как массы планет в сравнении с массой Солнца незначительны, то формула Кеплера достаточно хорошо согласуется с наблюдениями.
Формулы (2.23) и (2.24) играют большую роль в астрономии: они дают возможность определять массы небесных тел (см. § 58).
|
